a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chú ý một số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1. Phân tích 24 = 8.3

b) Sử dụng hệ thức Vi-et đưa biểu thức đã cho về ẩn m sau đó tìm m.

Giải chi tiết:

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng \({p^2} - 1\) chia hết cho 24.

Ta có nhận xét sau: Nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \({p^2} \equiv 1\,\,(\bmod 24)\) (1).

Lại có: \( - 1 \equiv 23\,\,(\bmod 24)\) (2).

Cộng vế với vế của \((1),\,\,(2)\) ta được: \({p^2} - 1 \equiv 24\,\,(mod24) \equiv 0\,\,(\bmod 24)\).

Vậy \({p^2} - 1\) chia hết cho 24 với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3.

b) Cho phương trình \({x^2} - 2mx - m - 4 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa \(\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\) đạt giá trị lớn nhất.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\,\,\,\forall m.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:    \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - m - 4\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có : \(\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = \frac{1}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{4{m^2} + 2m + 8}} = \frac{1}{{2{{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}} \le \frac{1}{{\frac{{31}}{4}}} = \frac{4}{{31}}\)

Ta có: \(4{m^2} + 2m + 8 = 2\left( {2{m^2} + 2.\sqrt 2 m.\frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{8}} \right) - \frac{1}{4} + 8 = 2{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}.\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{4{m^2} + 2m + 8}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2{{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}} \le \frac{4}{{31}}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{4}.\)

Vậy  \(Max\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = \frac{4}{{31}}\,\,khi\,\,m =  - \frac{1}{4}.\)

Chọn A.