1)     Cho phương trình: \({{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)     Áp dụng định lý Viêt để đưa về m.

2)     Đưa về bình phương của một biểu thức sẽ luôn không âm.

Giải chi tiết:

1)     Cho phương trình: \({{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3m+2=0\). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\)  thỏa mãn: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5.\)

Ta có : \(\Delta '={{(m-1)}^{2}}-({{m}^{2}}-3m+2)={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}+3m-2=m-1\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1.\)

Áp dụng định lý Viet ta có:  \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3m+2 \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có : \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} = 5\\
\Leftrightarrow {(2m - 2)^2} - 3({m^2} - 3m + 2) = 5\\
\Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 5\\
\Leftrightarrow {m^2} + m - 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 1 - \sqrt {29} }}{2}\;\;\;\left( {ktm} \right)\\
m = \frac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy  \(m=\frac{-1+\sqrt{29}}{2}\) thỏa mãn bài toán.

2)     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{2018}{2+\sqrt{2x-{{x}^{2}}}+7}\)

Ta có : \(\sqrt{2x-{{x}^{2}}+7}=\sqrt{8-({{x}^{2}}-2x+1)}=\sqrt{8-{{(x-1)}^{2}}}\le \sqrt{8}\)

\(\Rightarrow 2+\sqrt{2x-{{x}^{2}}+7}\le 2+\sqrt{8}\Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2x-{{x}^{2}}+7}}\ge \frac{1}{2+\sqrt{8}}.\)

\(\Rightarrow A=\frac{2018}{2+\sqrt{2x-{{x}^{2}}+7}}\ge \frac{2018}{2+\sqrt{8}}=1009(\sqrt{2}-1)\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy \(Min\ A=1009(\sqrt{2}-1)\) khi \(x=1.\)

Chọn A