Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right)\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (d).

+) Tính khoảng cách từ I đến d và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTLN của \(d\left( {I;d} \right)\).

Giải chi tiết:

TXĐ : \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) ; \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị \(\left( C \right)\) là:

\(\begin{array}{l}y = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{2a - 1}}{{a + 1}}\,\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}x - y - \frac{{3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2a - 1}}{{a + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow 3x - {\left( {a + 1} \right)^2}y - 3a + \left( {2a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x - {\left( {a + 1} \right)^2}y + 2{a^2} - 2a - 1 = 0\\ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 2{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 2{a^2} - 2a - 1} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { - 6a - 6} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{6}{{\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} }}\end{array}\)

Ta có \(\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + {\left( {a + 1} \right)^2}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.{{\left( {a + 1} \right)}^2}}  = 6\) 

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) \le \sqrt 6 \)

Vậy \({d_{\max }} = \sqrt 6  \Leftrightarrow \frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left( {a + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 + \sqrt 3  \Rightarrow M\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\\a =  - 1 - \sqrt 3  \Rightarrow M\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\)

Chọn C.