a) Cho \(\cos \alpha  = \frac{4}{5},\,\,{270^o} &l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Xác định dấu của \(\sin \alpha \) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

b) Sử dụng các công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\,\,\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\)

Giải chi tiết:

a) Cho \(\cos \alpha  = \frac{4}{5},\,\,{270^o} < \alpha  < {360^o}\). Tính \(\sin \alpha ,\cot \alpha \).

Ta có: \({270^o} < \alpha  < {360^o} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  =  - \sqrt {\frac{9}{{25}}}  =  - \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \frac{4}{3}.\end{array}\)  

b) Chứng minh rằng \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\)  (các điều kiện của x đã được thỏa mãn)

 \(\begin{array}{l}VT = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x\cos x}} = \frac{{1 + 2\sin x\cos x - 1}}{{\cos x\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \sin x} \right)}}\\ = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x.\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{\sin x}}}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

 Vậy \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x.\)

Chọn A.