a. Cho \(\sin x = \frac{3}{5}\)với \(\frac{\pi }{2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a. Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tính \(\cos \alpha \), từ đó tính \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

\(\tan \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \tan \beta }}\)

b. Áp dụng công thức biến tích thành tổng: \(\sin a.sinb = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

Giải chi tiết:

a. Cho \(\sin x = \frac{3}{5}\) với  \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \)  tính \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \(\sin x = \frac{3}{5} \Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{9}{{25}} \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

Do \(\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \cos x < 0 \Rightarrow \cos x =  - \frac{4}{5} \Rightarrow \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} =  - \frac{3}{4}\)

\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{ - \frac{3}{4} + 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{7}\)

b. Chứng minh: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{2}{\rm{cos2a}}\)

Ta có: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + \frac{\pi }{4} - a + \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {a + \frac{\pi }{4} + a - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\)

        \( = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 2a} \right) =  - \frac{1}{2}{\rm{cos}}2a{\rm{.}}\)

Chọn A.