Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nguyên hàm hai vế. Xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

Từ đó khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\), tìm điều kiện để \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất.

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {6x - 3{x^2}} \right)f\left( x \right)\), \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \)\(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 6x - 3{x^2} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = 3{x^2} - {x^3} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{3{x^2} - {x^3} + C}}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1\)\( \Rightarrow {e^C} = 1 \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{3{x^2} - {x^3}}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {6x - 3{x^2}} \right){e^{3{x^2} - {x^3}}}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất thì \(\left[ \begin{array}{l}m > {e^4}\\0 < m < 1\end{array} \right.\).

Chọn: A