Cho parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2}\) và đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) d cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

b) Kết hợp câu a), biến đổi biểu thức đề bài sao cho chỉ còn \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để tìm m.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là :

\( - {x^2} = mx - 2 \Leftrightarrow {x^2} + mx - 2 = 0\)    (1)

Có \(\Delta  = {m^2} + 8\)

Ta có với mọi m thì \({m^2} \ge 0 \Rightarrow {m^2} + 8 > 0 \Rightarrow \Delta  > 0\)

Vậy với mọi giá trị của m, \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ của A và B . Tìm m sao cho \({x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} + 5{x_1}{x_2} = 4026\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B

\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}.{x_2} =  - 2\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} + 5{x_1}{x_2} = 4026\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5{x_1}{x_2} = 4026\\ \Leftrightarrow  - 2.\left( { - m} \right) + 5.\left( { - 2} \right) = 4026\\ \Leftrightarrow 2m - 10 = 4026\\ \Leftrightarrow 2m = 4036 \Leftrightarrow m = 2018\end{array}\)

 Vậy với \(m = 2018\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.