Cho đường tròn \((O,R)\,\)và đường thẳng \(d\) cố...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác \(\Delta BHO = \Delta CHO\)  từ đó suy ra \(OB = OC = R\) hay \(C\) thuộc đường tròn.

+) Dựa vào tính chất và định nghĩa của tiếp tuyến để chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.

b)  Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hệ thức cần chứng minh.

c) Chứng minh \(OK\) bằng một giá trị không đổi. Khi đó ta chứng minh được điểm \(K\) cố định và chứng minh được yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

a) +) Chứng minh \(C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right):\)

Xét \(\Delta BHO\) và \(\Delta CHO\) ta có:

\(\begin{array}{l}OH\;\;chung\\\angle OHB = \angle OHC = {90^0}\\BH = HC\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow OB = OC = R\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right).\)  (đpcm)

+) Chứng minh \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right):\)

Ta có: \(\Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BOH = \angle COH\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta ACO\) ta có:

\(\begin{array}{l}BO = OC\;\left( { = R} \right)\\\angle BOA = \angle COA\;\;\left( {cmt} \right)\\OA\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta ABO = \Delta ACO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

Hay \(OC \bot AC\)

\( \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C.\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta OHK\) và \(\Delta OIA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle KOH\;\;chung\\\angle OIA = \angle OHK = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OHK \sim \Delta OIA\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OK}}{{OA}} \Rightarrow OH.OA = OK.OI\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 Xét \(\Delta ABO\)vuông tại \(B\) có  đường cao\(BH\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{O^2} = OH.OA\,\,\, \Rightarrow OH.OA = {R^2}\\ \Rightarrow OH.OA = OI.OK = {R^2}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Theo câu b) ta có: \(OI.OK = {R^2}\,\, \Rightarrow OK = \frac{{{R^2}}}{{OI}}\)  không đổi.

Mà \(K\) thuộc \(OI\) cố định nên \(K\) cố định.

Vậy khi \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì đường thẳng \(BC\) luôn đi qua điểm \(K\) cố định.