1) Cho tam giác ABC vuông tại A ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài AH, AC. Áp dụng công thức sin để tính số đo\(\angle ABC\).

2) a) Áp dụng tính chất tiếp tuyến để chứng minh \(AC = CM,BD = MD\)

b) Chứng minh MEOF  là hình chữ nhật, từ đó suy ra\(EF = OM\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và dựa vào\(AC = CM,BD = MD\) để chứng minh.

d) Kéo dài BM cắt AC tại K, dựa vào tam giác đông dạng để chứng minh \(IM = \frac{1}{2}MH\)

Giải chi tiết:

1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH  là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l} + )A{H^2} = BH.HC \Rightarrow AH = \sqrt {9.16}  = 12\\ + )A{C^2} = CH.BC = CH.\left( {CH + BH} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {16.\left( {9 + 16} \right)}  = 20\end{array}\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sin \left( {\angle ABC} \right) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{CH + BH}} = \frac{{20}}{{16 + 9}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \angle ABC = \arcsin \frac{4}{5} \approx {53^o}\). 

2)

a) Chứng minh rằng: \(CD = AC + BD\)

Xét nửa đường tròn tâm O đường kính AB có AC và MC là hai tiếp tuyến giao nhau tại M với M, A là tiếp điểm \( \Rightarrow AC = MC\)(tính chất tiếp tuyến)

Chứng minh tương tự ta có\(MD = BD\).

Vì M nằm trên đoạn CD nên\(CD = MD + MC\). Mà có\(AC = CM,BD = MD\) (cmt)

Suy ra \(CD = AC + BD\) (đpcm).\(\)\(\) \(\)

b) AM cắt OC tại E,  BM cắt OD tại F. Chứng minh \(EF = OM\).

Có: \(MD = BD\)(cmt) suy ra D nằm trên đường trung trực của MB (do cách đều hai điểm M, B)

Có: \(OM = OB\)(do cùng là bán kính) suy ra O nằm trên trung trực của MB (do cách đều M, B)

Suy ra OD là trung trực của MB, suy ra \(OD \bot MB.\)

Chứng minh tương tự có \(OC \bot AM.\)

Xét tứ giác MEOF có:

+) \(\angle AMB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) \(\angle MEO = {90^o}\) (do \(OC \bot AM\))

+) \(\angle MFO = {90^o}\)(do \(OD \bot MB\))

Suy ra tứ giác MEOF là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông), suy ra  \(EF = MO\) (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau). (đpcm)

c) Chứng minh rằng tích \(AC.BD\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Vì  MEOF  là hình chữ nhật nên\(\angle FOE = {90^o}\), suy ra tam giác COD  vuông tại O.

Xét tam giác COD vuông tại O có OM  là đường cao (\(OM \bot CD\) do CD  là tiếp tuyến với đường tròn)

\( \Rightarrow CM.MD = O{M^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà có: \(CM = AC,\;\;MD = BD\)(cmt)

\( \Rightarrow AC.BD = O{M^2} = {R^2}\).

\( \Rightarrow AC.BD\) luôn không đổi với mọi vị trí của điểm M.

d) Kẻ MH  vuông góc với AB  tại H,  MH cắt  BC  tại  I. Chứng minh rằng  I  là trung điểm của MH.

Kéo dài MB cắt AC tại K.

Có: \(\angle CKM = \angle DBM\)(do AC song song với BD)                                              (1)

Có: \(\angle KMC = \angle DMB\)(hai góc đối đỉnh)                                                 (2)

Mà có tam giác MBD cân tại D (do \(MD = BD\)) nên \(\angle DMB = \angle DBM\)         (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\angle CKM = \angle KMC\), suy ra tam giác KMC cân tại C, suy ra \(KC = CM\).

Mà có: \(CA = CM\) (cmt)

\( \Rightarrow CK = AC = \frac{1}{2}AK\).

Xét tam giác KBC có: MI song song với KC (do cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{KC}} = \frac{{BM}}{{BK}}\) (định lí Ta-lét)                                 (4)

Xét tam giác ABK có MH song song với AK (do cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{AK}} = \frac{{BM}}{{BK}}\) (định lí Ta-lét)                               (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{MI}}{{KC}} = \frac{{MH}}{{AK}}\). Mà có \(KC = \frac{1}{2}AK\) (cmt)

\( \Rightarrow MI = \frac{1}{2}MH \Rightarrow IH = MH - MI = MH - \frac{1}{2}MH = \frac{1}{2}MH \Rightarrow MH = MI\)

Vậy I là trung điểm của IH  (đpcm).