Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+2y+3z...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 ta xác định điểm rơi của bất đẳng thức là \(x=2,y=3,z=4\)  từ đó tách các hệ số sao cho sau khi áp dụng bất đẳng thức Cosi thì đấu bằng xảy ra tại đúng điểm rơi.

Giải chi tiết:

Cho các số thực dương \(x,\ y,\ z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)

Ta có: \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}=\frac{1}{4}x+\left( \frac{3}{4}x+\frac{3}{x} \right)+\frac{1}{2}y+\left( \frac{1}{2}y+\frac{9}{2y} \right)+\frac{3}{4}z+\left( \frac{1}{4}z+\frac{4}{z} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có:

\(\begin{align}  & +)\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3}{4}x.\frac{3}{x}}=3 \\ & +)\frac{1}{2}y+\frac{9}{2y}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}y.\frac{9}{2y}}=3 \\ & +)\frac{1}{4}z+\frac{4}{z}\ge 2\sqrt{\frac{1}{4}z.\frac{4}{z}}=2 \\\end{align}\)

\(\Rightarrow A\ge \frac{1}{4}\left( x+2y+3z \right)+3+3+2=\frac{20}{4}+3+3+2=13\)

Dấu “=” xảy ra 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{4}x = \frac{3}{x}\\
\frac{1}{2}y = \frac{9}{{2y}}\\
\frac{1}{4}z = \frac{4}{z}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3\\
z = 4
\end{array} \right.\)

Chọn A