Cho tam giác ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(HK = x \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x\).

+) Tính các cạnh BH, CH theo x.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC: \(A{H^2} = BH.CH\), giải phương trình tìm x.

+) Khi tìm được x, tính AH, CH và tính \(\tan \widehat {ACB}\).

Giải chi tiết:

Gọi đường tròn đường kính BC có bán kính bằng \(R\).

Đặt \(HK = x \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x\).

Do AK là tia phân giác của \(\widehat {BAC} \Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {CAK}\)

\( \Rightarrow K\)  là điểm chính giữa cung BC (hai góc nội tiếp bằng nhau

chắn hai cùng bằng nhau)

\( \Rightarrow OK \bot BC\).                                     

Xét tam giác vuông \(OHK\) có \(OH = \sqrt {H{K^2} - O{K^2}}  = \sqrt {{x^2} - {R^2}} \)

\( \Rightarrow BH = BO - OH = R - \sqrt {{x^2} - {R^2}} ;\,\,CH = R + \sqrt {{x^2} - {R^2}} \)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}x} \right)^2} = \left( {R - \sqrt {{x^2} - {R^2}} } \right)\left( {R + \sqrt {{x^2} - {R^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{5} = {R^2} - \left( {{x^2} - {R^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{3}{5}{x^2} = 2{R^2} - {x^2}\\ \Leftrightarrow \frac{8}{5}{x^2} = 2{R^2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}R\\ \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R;\,\,CH = R + \sqrt {{x^2} - {R^2}}  = R + \sqrt {\frac{5}{4}{R^2} - {R^2}}  = \frac{{3R}}{2}\end{array}\)

Xét tam giác vuông AHC có \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}R}}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}.\)  

Chọn A