Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \righ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = 2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) , biến đổi để có phương trình theo t và sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(\left\{ \matrix{  \cot x > 0 \hfill \cr   \cos x > 0 \hfill \cr}  \right.\).

Ta có : \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{  {\left( {\cot x} \right)^2} = {3^t} \hfill \cr   {\cos ^2}x = {4^t} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  {{{{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}} = {3^t} \hfill \cr   {\cos ^2}x = {4^t} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow {{{4^t}} \over {1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{4 \over 3}} \right)^t} + {4^t} = 1\)

Đặt \(f(t) = {\left( {{4 \over 3}} \right)^t} + {\left( 4 \right)^t} \Rightarrow f'(t) = {\left( {{4 \over 3}} \right)^t}\ln {4 \over 3} + {\left( 4 \right)^t}\ln 4 > 0\) suy ra \(f\left( t \right) = {\rm{ }}1\) có tối đa 1 nghiệm.

Nhận thấy \(t =  - 1\) là nghiệm của phương trình.

\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Kết hợp với điều kiện ta được: \(x = {\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Ta có : \(0 < {\pi  \over 3} + k2\pi  < 2017\pi  \Leftrightarrow  - {1 \over 6} < k < {{3025} \over 3}\). Do k nguyên nên k = 0; 1; ...; 1008. Vậy phương trình có 1009 nghiệm.

Chọn A.