Cho x, y là các số thực dương bé hơn 1. Tìm giá tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các bất đẳng thức \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4},\,\,\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Giải chi tiết:

Theo đầu bài ta có:

\(\frac{1}{Q} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y + xy} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y} \right) + \left( {x + y} \right)xy}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{{x + y}}{{1 - x - y}}\)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{Q} \ge \frac{4}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{{1 - \left( {x + y} \right)}} = \frac{4}{{x + y}} + \frac{1}{{1 - x - y}} - 1 \ge \frac{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y + 1 - x - y}} - 1 = 8 \Rightarrow Q \le \frac{1}{8}\)

Do áp dụng bất đẳng thức sau : \(\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của Q là \(\frac{1}{8}\), đạt tại \(x = y = \frac{1}{3}\).