Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).

Hình chữ nhật cơ sở của elip có chiều dài bằng \(2a\) và chiều rộng bằng \(2b\)Elip có \(e = {c \over a}\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Giải chi tiết:

Phương trình elip cần tìm có dạng  \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  \(4ab\).

Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)

Elip có \(e = {{\sqrt {12} } \over 4}\) suy ra \({c \over a} = {{\sqrt {12} } \over 4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \({{{c^2}} \over {{a^2}}} = {{12} \over {16}} = {3 \over 4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)

Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   3{a^2} - 4{c^2} = 0 \hfill \cr   {a^2} - {b^2} = {c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   {a^2} - {b^2} = {3 \over 4}{a^2} \hfill \cr   3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   {a^2} - 4{b^2} = 0 \hfill \cr   3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2} = 4 \hfill \cr   {b^2} = 1 \hfill \cr   {c^2} = 3 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\).

 

Đáp án: B