Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường thẳng AB.

+) Gọi \(C({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\,\left( {{x_0},\,{y_0} > 0} \right)\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right)\).

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 3}}{{ - 3 - 3}} = \frac{{y + 2}}{{2 + 2}} \Leftrightarrow 4x - 12 =  - 6y - 12 \Leftrightarrow 2x + 3y = 0\)

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {52} \)

Gọi \(C({x_0};{y_0}),\,\,({x_0},\,{y_0} > 0)\). Do \(C \in (E) \Rightarrow \frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\). Khi đó:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt {52} .\frac{{\left| {2{x_0} + 3{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = 2{x_0} + 3{y_0}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, theo Bất đằng thức Bunhicopski:

\(2 = \left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left( {\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4}} \right) \ge {\left( {\frac{{{x_0}}}{3} + \frac{{{y_0}}}{2}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{x_0^{}}}{3} + \frac{{y_0^{}}}{2} \le \sqrt 2  \Leftrightarrow 2{x_0} + 3{y_0} \le 6\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{ABC}} \le 6\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\\\frac{{{x_0}}}{3} = \frac{{{y_0}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\{y_0} = \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \) \(C\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2};\sqrt 2 } \right)\)

Chọn: C