Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(n + 2C_n^2 + {2^2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp để tính giá trị biểu thức VT.

+) Giải phương trình để tìm \(n\)

Giải chi tiết:

Đặt

\(\begin{array}{l}
S = n + 2C_n^2 + {2^2}C_n^3 + ... + {2^{n - 3}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 2}}C_n^{n - 1} + {2^{n - 1}}\\
= C_n^1 + 2C_n^2 + {2^2}C_n^3 + ... + {2^{n - 3}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 2}}C_n^{n - 1} + {2^{n - 1}}C_n^n
\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{3^n}}}{2} = \dfrac{1}{2}C_n^0 + C_n^1 + 2C_n^2 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 1} + {2^{n - 1}}C_n^n\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{3^n}}}{2} = \dfrac{1}{2} + C_n^1 + 2C_n^2 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 1} + {2^{n - 1}}C_n^n\\
\Leftrightarrow C_n^1 + 2C_n^2 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 1} + {2^{n - 1}}C_n^n = \dfrac{{{3^n}}}{2} - \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

Kết hợp với giả thiết ta có: \(\dfrac{{{3^n}}}{2} - \dfrac{1}{2} = 364 \Leftrightarrow {3^n} - 1 = 728 \Leftrightarrow {3^n} = 729 \Leftrightarrow {3^n} = {3^6} \Leftrightarrow n = 6\)

Chọn D.