Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết:

Ta dễ dàng chứng minh được \(DM\bot CN.\)

Kết hợp với \(DM\bot SH,\) suy ra \(DM\bot \left( SHC \right).\)

Hạ \(HK\bot SC\,\,\,\left( K\in SC \right)\) suy ra \(HK\) là đoạn vuông góc chung của \(DM\) và \(SC.\) Do đó khoảng cách \(d\left( DM;SC \right)=HK.\)

Ta có : \(CN=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Lại có \(HC=\frac{C{{D}^{2}}}{CN}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\) và \(HK=\frac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}.\)

Vậy khoảng cách cần tính là \(d\left( DM;SC \right)=\frac{2\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}.\)

Chọn C.