Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy số.

Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh số hạng tổng quát đó đúng bằng phương pháp quy nạp

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {x_1} = 5  \cr   & {x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1  \cr   & {x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2  \cr   & {x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3  \cr   & ... \cr} \)

Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N*\)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({x_k} = 5 + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}\,,\) ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + {{\left( {k + 1} \right)k} \over 2}\).

Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}\, + k = 5 + {{k\left( {k - 1} \right) + 2k} \over 2} = 5 + {{k\left( {k - 1 + 2} \right)} \over 2} = 5 + {{\left( {k + 1} \right)k} \over 2}\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n \in N*\).

Vậy \({x_n} = 5 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = {{{n^2} - n + 10} \over 2}\,\,\,\,\,\forall n \in N*\)

Chọn A.