Hệ số của \({{x}^{8}}\)  trong khai triển biểu thứ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

\( \bullet \) Xét khai triển \({x^2}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = {x^2}.\sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.1^{10\, - \,k}}.{\left( {2x} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^k}.{x^{2\, + \,k}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) ứng với \({x^{2\, + \,k}} = {x^8} \Leftrightarrow k = 6\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\) Hệ số của \({x^8}\) là \({2^6}.C_{10}^6.\)

\( \bullet \) Xét khai triển \({x^4}{\left( {3 + x} \right)^8} = {x^4}.\sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^i} = \sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^{i\, + \,4}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) ứng với \({x^{i\, + \,4}} = {x^8} \Leftrightarrow i = 4\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\) Hệ số của \({x^8}\) là \(C_8^4{.3^4}.\)

Vậy hệ số cần tìm là \({2^6}.C_{10}^6 - {3^4}.C_8^4 = 7770.\)

Chọn B