Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(u = {x^2} + y,v = xy\)

Giải chi tiết:

 Hệ (I)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y + xy + xy\left( {{x^2} + y} \right) = 1\\{\left( {{x^2} + y} \right)^2} + xy = 1\end{array} \right.\)   (II)

Đặt \(u = {x^2} + y,v = xy\), hệ (II) trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + v + uv = 1\\{u^2} + v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\u + 1 - {u^2} + u\left( {1 - {u^2}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\ - {u^3} - {u^2} + 2u + 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\ - {u^3} - {u^2} + 2u = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2\\v = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\)ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 0\\xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - {x^2}\\- {x^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 1\end{array} \right.\)Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\)ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 1\\xy = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)Với \(\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2\\v = 5\end{array} \right.\)ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y =  - 2\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2 - {x^2}\\x\left( { - 2 - {x^2}} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2 - {x^2}\\{x^3} + 2x + 5 = 0\end{array} \right.\)(*)

Bấm máy giải phương trình \({x^3} + 2x + 5 = 0\)thấy có duy nhất 1 nghiệm vô tỷ. Suy ra hệ (*) có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm \((x;y)\)

Chọn C