Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa biểu thức cần tính về các tích vô hướng đặc biệt của hình vuông

Giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right). \cr} \)

Có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OC}  \bot \overrightarrow {OD}  \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}  = 0\)

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính \({a \over 2} \Rightarrow MO = {a \over 2} \Rightarrow M{O^2} = {{{a^2}} \over 4}.\)

Vậy \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 2.{{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2}\)

Chọn A.