Số nghiệm của phương trình \(3\sqrt {x + 2}  - 6\s...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\left( {\alpha \sqrt {x + a} - \beta \sqrt {b - x} } \right) + \gamma \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} = f(x)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + a \ge 0\\b - x \ge 0\end{array} \right.\)

+ Đặt: \(\alpha \sqrt {x + a} - \beta \sqrt {b - x} = t \Rightarrow \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} \) theo t

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)

Đặt: \(t = 3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2} \right) + 36\left( {2 - x} \right) - 36\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2 + 8 - 4x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} + 4\sqrt {4 - {x^2}} = 10 - 3{\rm{x}}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} = 10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Rightarrow t = \dfrac{{{t^2}}}{9} \Leftrightarrow {t^2} = 9t \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 9\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(t = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2} = 6\sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x + 2 = 8 - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5}\)

+) Với \(t = 9 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} = 9 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 3 + 2\sqrt {2 - x} \) \( \Leftrightarrow x + 2 = 9 + 8 - 4x + 12\sqrt {2 - x} \Leftrightarrow 5x - 15 = 12\sqrt {2 - x} \)

Điều kiện: \(5{\rm{x}} - 15 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)(không thoả mãn \( - 2 \le x \le 2\))

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{6}{5}\)

Chọn C.