Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết tính độ dài đường cao CH hạ từ đỉnh C:  \(CH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AB}}\)

+) Tham số hóa tọa độ điểm G trên đường thẳng 3x – y – 8 = 0, suy ra tọa độ điểm C theo tham số.

+) Dùng khoảng cách \(d\left( {C;AB} \right) = CH\) thiết lập phương trình và giải tham số ta tìm được đỉnh C.

Giải chi tiết:

Ta có  \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Gọi CH là đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác ABC

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.CH \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2.\frac{3}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = d\left( {C;AB} \right)\\G \in \left( {2x - y - 8 = 0} \right) \Rightarrow G\left( {t;3t - 8} \right)\end{array}\)

G là trọng tâm tam giác ABC  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{2 + 3 + {x_C}}}{3}\\3t - 8 = \frac{{ - 3 - 2 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3t - 5\\{y_C} = 9t - 19\end{array} \right..C\left( {3t - 5;9t - 19} \right)\,\,\left( {t > \frac{5}{3}} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \) đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình  \(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {C;AB} \right) = \frac{{\left| {3t - 5 - 9t + 19 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| { - 6t + 9} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6t + 9 = 3\\ - 6t + 9 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1; - 1} \right)\end{array}\)

Chọn A.