Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho \(A(1;2;...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P)Nếu A, B cùng phía với (P) thì \(\left| MA-MB \right|\) max khi A, B, M thẳng hàng.Nếu A, B khác phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có \(\left| MA-MB \right|=\left| MA'-MB \right|\le A'B\). Khi đó  \(\left| MA-MB \right|\) max khi A’, B, M thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Ta có \(({{x}_{A}}+2{{y}_{A}}+{{z}_{A}}-2)({{x}_{B}}+2{{y}_{B}}+{{z}_{B}}-2)=(1+2.2+0-2)(1+2.0-1-2)<0\)

Suy ra A, B khác phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của \(A(1;2;0)\) qua \((P):x+2y+z-2=0\)

Gọi H là hình chiếu của A trên (P). Ta có:

\(AH:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (1;2;1)\\A(1;2;0)\end{array} \right. \Rightarrow AH:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\end{array} \right.\)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ 

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\\x + 2y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\\6t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z =  - \frac{1}{2}\\t =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\)

H là trung điểm của AA’. Suy ra h\(A'\left( 0;0;-1 \right)\)

Ta có: \(\left| MA-MB \right|=\left| MA'-MB \right|\le A'B\)\(\Rightarrow {{\max }_{\left| MA-MB \right|}}=A'B\)\(\Rightarrow \) A’,B,M thẳng hàng\(\Rightarrow M=A'B\cap (P)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} \left( {1;0;0} \right)\\B(1;0; - 1)\end{array} \right. \Rightarrow A'B:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 1\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 1\\x + 2y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 1\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z =  - 1\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0; - 1} \right)\)

Chọn B