Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của hệ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình (1) có thể phân tích được thành phương trình tích: \((1)\Leftrightarrow (x+y)(x-3y-1)=0\)

Từ đó thay vào hệ phương trình, biến đổi và tìm nghiệm.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ge 1;\ y\ge 0\)

Từ (1) ta có                   

 \(\left( {{x^2} - 2xy - 3{y^2}} \right) - \left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x - 3y} \right) - \left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x - 3y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 3y - 1 = 0\end{array} \right.\)

Với điều kiện: \(x\ge 1;\ y\ge 0\) suy ra \(x+y>0\), do đó \(x+y=0\) (vô lý)

Với \(x=3y+1\)thay vào phương trình \(x\sqrt{3y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( {3y + 1} \right)\sqrt {3y}  - y\sqrt {3y}  = 2\left( {3y + 1} \right) - 2y \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\sqrt {3y}  = 4y + 2\\ \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\sqrt {3y}  - 2\left( {2y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\left( {\sqrt {3y}  - 2} \right) = 0\end{array}\)

 Vì \(y\ge 0\) nên từ phương trình ta có  \(\sqrt{3y}-2=0\Leftrightarrow 3y=4\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}\Rightarrow x=5\)                               

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)=\left( 5;\frac{4}{3} \right)\)

Chọn A.