Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triể...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Từ điều kiện đầu bài \(C_n^2.C_n^{n - 2} + 2C_n^2.C_n^3 + C_n^3.C_n^{n - 3} = 100\) ta tìm n. Chú ý  \(C_n^2 = C_n^{n - 2};C_n^3 = C_n^{n - 3}\)sau đó thay vào khai triển tìm hệ số của số hạng không chứa x.

Giải chi tiết:

 Đk: \(n \ge 3,\,\,n \in N.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,C_n^2.C_n^{n - 2} + 2C_n^2.C_n^3 + C_n^3.C_n^{n - 3} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} + 2C_n^2.C_n^3 + {\left( {C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2 + C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow C_n^2 + C_n^3 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 10\\ \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + {n^3} - 3{n^2} + 2n - 60 = 0\\ \Leftrightarrow {n^3} - n - 60 = 0\\ \Leftrightarrow n = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Từ đó ta có: \({\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {x^k}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{4 - k}} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} .{x^k}.{x^{k - 4}} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} .{x^{2k - 4}}\)

Số hạng không chứa x trong khai triển khi \(2k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 2\) 

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là \(C_4^2 = 6\)

Chọn đáp án C.