Cho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. \(\left( {a \ne 0,\Delta  > 0} \right)\).

- Khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-et:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

- Biến đổi biểu thức P để áp dụng được hệ thức Vi-et: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}.\)

- Đưa biểu thức P về dạng chỉ chứa ẩn m, lập BBT để tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm  \({x^2} + 2x - 3 = m\left( {x - 4} \right) - 2 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {4m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 20m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)

Gọi  là 2 nghiệm của phương trình (*). 

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có:  

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 4m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 2\left( {4m - 1} \right)} \right) + 9\left( {4m - 1} \right) + 2014\\ = 2\left( {{m^2} - 4m + 4 - 8m + 2} \right) + 36m - 9 + 2014\\ = 2{m^2} + 12m + 2017 = f\left( m \right)\end{array}\)

Lập BBT: 

Ta thấy hàm số f(m) đạt GTNN tại \( m = 10 - 2\sqrt {23} \), tức là P có GTNN.

Vậy với\(\left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)thì P có GTNN.

Chọn A