Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

C

- Hướng dẫn giải

Điều kiện $9x^2-16x-80\ge 0\iff x\ge 4$

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right) \\ =k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \\ \iff 3\mathrm{x}-\sqrt{9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80}=4\mathrm{k} \\ \iff \sqrt{9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80}=3\mathrm{x}-4\mathrm{k} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4\mathrm{k}}{3}\\ 9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80={\left(3\mathrm{x}-4\mathrm{k}\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4\mathrm{k}}{3}\\ \mathrm{x}=\frac{2{\mathrm{k}}^2+10}{3\mathrm{k}-2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Yêu cầu bài toán tương đương với 

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge \frac{4k}{3}\\ x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge 4\\ \frac{2k^2+10}{3k-2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$

Ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge \frac{4k}{3}\\ x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge 4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-6k^2+8k+30}{3k-2}\ge 0\\ \frac{2k^2-12k+18}{3k-2}\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \frac{2}{3}<k\le 3 \end{gathered}$$

Vì $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k\in \left\{1;2;3\right\}$

Với k = 1 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=12\in Z$

Với k = 2 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=\frac{9}{2}\notin \frac{9}{2}$

Với k = 3 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=4\in Z$

Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12

Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm

Đáp án C