Cho hàm số

- Hướng dẫn giải

Đáp án là B.

• Trường hợp $m=0$

$f\left(x\right)=-x^2+1$ có đồ thị là parabol, có đỉnh I(0;-1).

Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại là I thuộc trục tung.

Do đó $m=0$  thoả yêu cầu bài toán.

•  Trường hợp $m\ne 0$

 $f^{\text{'}}\left(x\right)=4m{x}^3-2\left(m+1\right)x$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=0\vee x^2=\frac{m+1}{2m}$

+ Nếu $-1\le m<0$  thì $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$  có nghiệm $x=0$  ( $y=m+1$ )

Đồ thị hàm số có một điểm cực đại (0;m+1) thuộc trục toạ độ.

+ Nếu $m<-1\vee m>0$  thì $f\text{'}\left(x\right)=0$  có ba nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}x=0\left(y=m+1\right)\\ x=\sqrt{\frac{m+1}{2m}}(y=\frac{3m^2+2m-1}{4m})\\ x=-\sqrt{\frac{m+1}{2m}}(y=\frac{3m^2+2m-1}{4m})\end{array}\right.$

Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị thuộc các trục toạ độ khi và chỉ khi $3m^2+2m-1=0\iff m=-1\vee m=\frac{1}{3}$ . Nhận $m=\frac{1}{3}$