Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ...

C

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng qua \(A\left( {0;\,a} \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - } \right) + a \Leftrightarrow y = kx + a\)

Đường thẳng qua A tiếp xúc với đồ thị \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = kx + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \((2)\) vào \((1)\) ta có: \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 3x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + a\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 =  - 3x + a{x^2} - 2ax + a\\ \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){x^2} + 2\left( {2 + a} \right)x - 2 - a = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+ Để kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị có 2 tiếp điểm nằm 2 phía trục hoành.

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) có tung độ trái dấu.

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{y_1}.{y_2} < 0\\a - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} - 1}} < 0\\a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\,\,(1)\\\dfrac{{{x_1}.{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}.{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} < 0\,\,\,(2)\\a \ne 1\end{array} \right.\)

\((1) \Leftrightarrow \Delta  = 4{\left( {2 + a} \right)^2} - 4\left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) > 0 \Leftrightarrow 12a + 24 > 0 \Leftrightarrow a >  - 2\)

+ Theo Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {2 + a} \right)}}{{a - 1}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{2 + a}}{{a - 1}}\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2 + a}}{{a - 1}} + \dfrac{{4\left( {2 + a} \right)}}{{a - 1}} + 4}}{{\dfrac{{2 + a}}{{a - 1}} - \dfrac{{2\left( {2 + a} \right)}}{{a - 1}} + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{3} < a < 1\\a > 1\end{array} \right.\)

Kết hợp (1) và (2) \( \Rightarrow a \in \left( {\dfrac{{ - 2}}{3};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Mà \(a \in \left[ { - 2018;\,2018} \right]\) \( \Rightarrow a \in \left( {\dfrac{{ - 2}}{3};1} \right) \cup \left( {1;2018} \right]\) \( \Rightarrow \)Có 2018 giá trị a nguyên.

Chọn C