Tìm m để bất phương trình

B

- Hướng dẫn giải

Vì x - 1 thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất phương trình đúng với $x\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=x-6^{1-x}$ với $x\in \left[0;1\right]$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=1+6^{1-x}\ln \left(6\right)>0\forall x\in \left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left[0;1\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(1\right)=0\forall x\in \left[0;1\right]$$\Rightarrow f\left(x\right)<0\forall x\in \left[0;1\right]$ 

Hơn nữa $e{x}^2-\mathrm{\pi x}+2018>0,\forall \mathrm{x}\in \left[0;1\right]$.

Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình: $\left(m-1\right)6^x-\frac{2}{6^x+2m+1}\le 0$ với $x\in \left[0;1\right]$.

Đặt $t=6^x$ thì $t\in \left[1;6\right]$. Bất phương trình thành

$$\begin{gathered} \left(m-1\right)t-\frac{2}{t}+2m+1\le 0 \\ \iff m\le \frac{t^2-t+2}{t^2+2t} \\ \iff m\le \underset{t\in \left[1;6\right]}{min}g\left(t\right) \end{gathered}$$  

(với $g\left(t\right)=\frac{t^2-t+2}{t^2+2t},t\in \left[1;6\right]$).

Ta có

 $$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=\frac{3t^2-4t-4}{\left(t^2+2t^2\right)} \\ g\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{2}{3}\\ t=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được: $\underset{t\in \left[1;6\right]}{min}g\left(t\right)=\frac{1}{2}$

Vậy $m\le \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án B