Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả c...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Vì $AB//CD$ nên $d\left(AB;SC\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)$

$=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=2OH$, trong đó I là trung điểm của CD và H là hình chiếu vuông góc của O xuống SI.

Ta có: $OI=\frac{a}{2};SI=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2};SO=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

 $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{6}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a}{\sqrt{6}}$

$\Rightarrow d\left(AB;SC\right)=2.\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$