Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là vuông;...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D 

Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và CD

Vì $\Delta SAB$ đều và mặt phẳng $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$$\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$  .

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp HM\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SHM\right)$    (1)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H  lên mặt phẳng  $\left(SCD\right)$ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra  $HI\perp \left(SCD\right)$

  Vì $AB\text{//}CD\Rightarrow AB\text{//}\left(SCD\right)$$\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=d\left(H,\left(SCD\right)\right)=HI=\frac{3a\sqrt{7}}{7}$

Giải sử $AB=x\left(x>0\right)$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SH=\frac{x\sqrt{3}}{2}\\ HM=x\end{array}\right.$  .

Mặt khác: $\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{H{M}^2}+\frac{1}{S{H}^2}$  $\iff \frac{7}{9a^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{4}{3x^2}\iff x^2=3a^2\Rightarrow x=\sqrt{3}a$ 

Thể tích:  $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.3a^2=\frac{3a^3}{2}$ (đvtt)