Cho hàm số

- Hướng dẫn giải

Phân tích giả thiết đề bài cho

Đặt   $\sqrt{x+1}=t\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+1}}dx=dt\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x+1}}=2dt$

$\Rightarrow Vế trái=\int \frac{f\left(\sqrt{x+1}\right)dx}{\sqrt{x+1}}=\int f\left(t\right).2dt=\int 2f\left(t\right).dt$

$\text{⇒Vế phải =}\frac{2\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{{\sqrt{x+1}}^2+4}=\frac{2\left(t+3\right)}{t^2+4}+C$

 Mà Vế trái = Vế phải nên

$\int 2f\left(t\right).dt=\frac{2\left(t+3\right)}{t^2+4}+C$ 

$\Rightarrow \int f\left(t\right).dt=\frac{t+3}{t^2+4}+C$ 

$\Rightarrow \int f\left(2t\right).dt=\frac{1}{2}.\frac{2t+3}{4t^2+4}+C$.

(Áp dụng công thức $\int f\left(ax+b\right)dx=\frac{F\left(ax+b\right)}{a}+C$)