Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diệ...

Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1} .$ Nối 4 trung điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_{2} .$ Tiếp tục làm như thế ta được hình vuông thứ ba $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ có diện tích $S_{3}$ …. Và cứ tiếp tục làm như thế ta được các hình vuông có diện tích $S_{4}, S_{5}$ …, $S_{100}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tổng $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{100} .$

A. $S = \frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{100}} .$

B. $S = \frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{99}} .$

C. $S = \frac{a^{2}}{2^{100}} .$

D. $S = \frac{a^{2} (2^{99} - 1)}{2^{99}} .$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương pháp:

Nếu $(u_{n})$ là một cấp số nhân với công bội $q \neq 1$ thì $S_{n}$ được tính theo công thức: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} .$

Cách giải:

Hình vuông ABCD cạnh a $\Rightarrow S_{1} = a^{2}$

Hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng $\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow S_{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Hình vuông $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ có cạnh bằng

$\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{a}{{(\sqrt{2})}^{2}} \Rightarrow S_{3} = \frac{a^{2}}{2^{2}}$

……

Hình vuông $A_{99} B_{99} C_{99} D_{99}$ có cạnh bằng $\frac{a}{{(\sqrt{2})}^{99}} \Rightarrow S_{100} = \frac{a^{2}}{2^{99}}$

$S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{100} = \frac{a^{2}}{2^{0}} + \frac{a^{2}}{2^{1}} + \frac{a^{2}}{2^{2}} + ... + \frac{a^{2}}{2^{99}} = \frac{a^{2} . (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{100}} .2 = \frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{99}}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán mới nhất cực hay !!

↑