Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi K là trọng tâm tam giác ABC. Qua K kẻ đường thẳng song song với A'B' lần lượt cắt AC; BC tại E và F. Gọi I là giao của CK và AB. Ta có

$CI\perp \left(ABB\text{'}A\text{'}\right)\Rightarrow V_{CBA\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{3}.CI.S_{BA\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{13}}{12}$.

Kí hiệu như hình vẽ. Ta có $V=V_{CFA\text{'}B\text{'}}+V_{CEA\text{'}F}$.

Mà $\frac{V_{CEA\text{'}F}}{CA\text{'}BB\text{'}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.1\Rightarrow V_{CEA\text{'}F}=\frac{4}{9}.\frac{1}{3}.AA\text{'}.S_{ABC}=\frac{4}{27}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}$.

$\frac{V_{CFA\text{'}B\text{'}}}{CBA\text{'}B\text{'}}=\frac{2}{3}.1.1\Rightarrow V_{CFA\text{'}B\text{'}}=\frac{2}{3}.\frac{a^3\sqrt{3}}{12}=\frac{a^3\sqrt{13}}{18}$. Suy ra $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{27}+\frac{a^3\sqrt{3}}{18}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{54}$.