Cho hàm số

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ý tưởng bài toán: Với bài toán dạng này, ta thường chọn  hai giá trị a, b bất kì, tính tổng $f\left(a\right)+f\left(b\right)$ và tìm mối quan hệ giữa hai giá trị a, b.

$\begin{array}{l}f\left(a\right)+f\left(b\right)\\ =\frac{{\log }_{2}a}{{\log }_{2}a+1}+\frac{{\log }_{2}b}{{\log }_{2}b+1}\\ =\frac{2{\log }_{2}a{\log }_{2}b+{\log }_{2}a+{\log }_{2}b}{\left({\log }_{2}a+1\right)\left({\log }_{2}b+1\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{2{\log }_{2}a{\log }_{2}b+{\log }_{2}a+{\log }_{2}b}{{\log }_{2}a{\log }_{2}b+{\log }_{2}a+{\log }_{2}b+1}\\ =\frac{2{\log }_{2}a{\log }_{2}b+{\log }_{2}ab}{{\log }_{2}a{\log }_{2}b+{\log }_{2}ab+1}\end{array}$

Cần chọn hai giá trị a, b sao cho tử rút gọn được với mẫu.

Ta thường chọn a+b=k hoặc ab=k. Ở bài toán này ta chọn ab=k.

Nếu $ab=\frac{1}{4}$ thì ${\log }_{2}ab={\log }_2\frac{1}{4}=-2$.

Suy ra

$\begin{array}{l}f\left(a\right)+f\left(b\right)\\ =\frac{2{\log }_{2}a{\log }_{2}b-2}{{\log }_{2}a{\log }_{2}b-2+1}=2\end{array}$

Vậy với các giá trị a, b thỏa mãn $ab=\frac{1}{4}$ thì $f\left(a\right)+f\left(b\right)=2$.

Ta có 

$\begin{array}{l}S=f\left(2^{-100}\right)+f\left(2^{-99}\right)+\mathrm{...}+f\left(2^{-2}\right)\\ +f\left(2^0\right)+f\left(2^1\right)+\mathrm{...}+f\left(2^{98}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left[f\left(2^{-100}\right)+f\left(2^{98}\right)\right]+\left[f\left(2^{-99}\right)+f\left(2^{97}\right)\right]\\ +\mathrm{...}+\left[f\left(2^{-2}\right)+f\left(2^0\right)\right]=\underset{99\text{ s}o2}{\underbrace{2+2+\mathrm{...}+2}}\end{array}$

$=99.2=198$.