Xét hằng đẳng thức

- Hướng dẫn giải

Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:

$2^3={\left(1+1\right)}^3=1^3+{3.1}^2+3.1+1$

$3^3={\left(2+1\right)}^3=2^3+{3.2}^2+3.2+1$

$4^3={\left(3+1\right)}^3=3^3+{3.3}^2+3.3+1$

...................................

${\left(n+1\right)}^3=n^3+3.n^2+3.n+1$

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được ${\left(n+1\right)}^3=1^3+3\left(1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2\right)+3\left(1+2+3+\mathrm{...}+n\right)+n$

Do đó

$3\left(1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2\right)={\left(n+1\right)}^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)$

$\begin{array}{l}3S=\left(n+1\right)\left[{\left(n+1\right)}^2-\frac{3n}{2}-1\right]\\ 3S=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\\ 3S=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{array}$

Vậy $S=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$