Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}\) có đồ thị \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\).  là tiếp điểm.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=ax+b\) nên \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({f}'\left( {{x}_{0}} \right)=a\).

+) Viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng \(y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\), sau đó xét điều kiện hai đường thẳng song song để loại trường hợp.

Giải chi tiết:

Ta có \({y}'=-3{{x}^{2}}+4x\)

Gọi \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\).  là tiếp điểm.

Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\).  song song với đường thẳng \(y=x\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(y'\left( {{x_0}} \right) = 1 \Leftrightarrow  - 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

+) Với \({{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1\Rightarrow \) tiếp tuyến là : \(y-1=1\left( x-1 \right)\Rightarrow y=x\) (loại)

+) Với \({{x}_{0}}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{5}{27}\Rightarrow \) tiếp tuyến là : \(y=x-\frac{4}{27}\)

Vậy có \(1\)tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.