Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phâ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2 .

Giải chi tiết:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)x = m \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {{x^2} - x} \right) = m\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \({x^2} - x - 1 = t\), khi đó phương trình trở thành \(\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 1 = m \Leftrightarrow {t^2} = m + 1\,\,\,\left( {**} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}t = \sqrt {m + 1} \\t =  - \sqrt {m + 1} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\{x^2} - x - 1 = \sqrt {m + 1} \\{x^2} - x - 1 =  - \sqrt {m + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\{x^2} - x - 1 - \sqrt {m + 1}  = 0\\{x^2} - x - 1 + \sqrt {m + 1}  = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Để  phương trình (*) có 3 nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\{x^2} - x - 1 - \sqrt {m + 1}  = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - x - 1 + \sqrt {m + 1}  = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có 3 nghiệm

Ta có nhận xét phương trình (1) có \(\Delta  = 1 + 4 + 4\sqrt {m + 1}  > 0\) suy ra (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy phương trình \({x^2} - x - 1 + \sqrt {m + 1}  = 0\,\,\left( 2 \right)\) có nghiệm kép

Xét \(\Delta  = 1 + 4 - 4\sqrt {m + 1}  = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{{16}}\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = \dfrac{9}{{16}}\) là giá trị cần tìm.