Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :\(\left| {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất sau : \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\,\,\,(*)\) dấu “=” khi  \(AB \ge 0\)

Chứng minh:

 \(\begin{array}{l}\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|(*) \Leftrightarrow {\left( {\left| A \right| + \left| B \right|} \right)^2} \ge {\left| {A + B} \right|^2} = {(A + B)^2}\\ \Leftrightarrow {\left| A \right|^2} + 2\left| A \right|\left| B \right| + {\left| B \right|^2} \ge {A^2} + 2AB + {B^2}\\ \Leftrightarrow {A^2} + 2\left| {AB} \right| + {B^2} \ge {A^2} + 2AB + {B^2}\\ \Leftrightarrow \left| {AB} \right| \ge AB\end{array}\)

Luôn đúng “=” xảy ra khi A; B cùng dấu

Giải chi tiết:

Áp dụng tính chất : \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\) ta có :

\(\begin{array}{l}\left| {y - 3x - 2} \right| + \left| {x + y + 2} \right| + \left| {x + 2y + 3} \right| + \left| {x - 4y + 1} \right| = 4\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {y - 3x - 2} \right| + \left| {x + y + 2} \right| \ge \left| {y - 3x - 2 + x + y + 2} \right| = \left| {2y - 2x} \right|\\\left| {x + 2y + 3} \right| + \left| {x - 4y + 1} \right| \ge \left| {x + 2y + 3 + x - 4y + 1} \right| = \left| {2x - 2y + 4} \right|\end{array} \right.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {y - 3x - 2} \right)\left( {x + y + 2} \right) \ge 0\\\left( {x + 2y + 3} \right)\left( {x - 4y + 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {y - 3x - 2} \right| + \left| {x + y + 2} \right| + \left| {x + 2y + 3} \right| + \left| {x - 4y + 1} \right| \ge \left| {2y - 2x} \right| + \left| {2x - 2y + 4} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \left| {2y - 2x + 2x - 2y + 4} \right| = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi : \(\left( {2y - 2x} \right)\left( {2x - 2y + 4} \right) \ge 0\)

Suy ra

 \(\begin{array}{l}\left| {y - 3x - 2} \right| + \left| {x + y + 2} \right| + \left| {x + 2y + 3} \right| + \left| {x - 4y + 1} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {y - 3x - 2} \right)\left( {x + y + 2} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 2y + 3} \right)\left( {x - 4y + 1} \right) \ge 0\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( {2y - 2x} \right)\left( {2x - 2y + 4} \right) \ge 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có

 \(\begin{array}{l}(3) \Leftrightarrow \left( {2y - 2x} \right)\left( {2x - 2y + 4} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y + 2} \right) \le 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - 2 \le x - y \le 0 \Leftrightarrow y - 2 \le x \le y\end{array}\)

Mà x , y là các số nguyên \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = y - 1\\x = y - 2\end{array} \right.\)

+) Thay \(x = y\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2x - 2} \right)\left( {2x + 2} \right) \ge 0\\\left( {3x + 3} \right)\left( { - 3x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\\\left( {3x + 3} \right)\left( { - 3x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1 = y\)

+) Thay \(x = y - 1\) vào (1) và (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) \ge 0\\\left( {3x + 5} \right)\left( { - 3x - 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3}}{2} \le x \le  - \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{ - 5}}{3} \le x \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y = 0\)

+) Thay \(x = y - 2\) vào (1) và (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2x} \right)\left( {2x + 4} \right) \ge 0\\\left( {3x + 7} \right)\left( { - 3x - 7} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 0\\{\left( {3x + 7} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 0\\x = \dfrac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {loai} \right)\)

Vậy có 2 cặp nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\)  là \(\left( { - 1; - 1} \right)\)và \(\left( { - 1;0} \right)\)