Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(\angle A =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền- góc nhọn

b) Ta chứng minh \(\Delta ABM\) là tam giác cân tại A, khi đó \(AI\) là đường cao xuất phát từ A của tam giác ABM hay AI cũng chính là đường trung trực của BM, mà I thuộc AD nên AD là đường trung trực của BM.

c) Ta đi chứng minh \(\Delta ANC\) có hai cạnh bằng nhau và có một góc bằng \({60^o}\) rồi suy ra nó là tam giác đều.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta BAD\& \Delta MAD\) ta có :

\(\begin{array}{l}\angle B = \angle M = {90^0}\\AD\,chung\end{array}\)

\(\angle BAD = \angle MAD = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\) (do \(AD\) là tia phân giác góc A)

\( \Rightarrow \Delta BAD = \Delta MAD\) (cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: \(\Delta BAD = \Delta MAD\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow AB = AM\) (cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ABM\) có:

\(\begin{array}{l}AB = AM\\\angle BAM = {60^0}\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM\) cân tại A.

Khi đó AI là đường phân giác cũng là đường cao xuất phát từ đỉnh A của \(\Delta ABM\)

\( \Rightarrow AI\) là đường trung trực của BM.

Hay  \(AD\) là đường trung trực của BM. (đpcm)

c) \(\Delta ANC\) là tam giác đều.

Từ định lý tổng ba góc của một tam giác

Xét \(\Delta AMN\& \Delta ABC\) có :

\(\begin{array}{l}\angle B = \angle M = {90^0}\left( {gt} \right)\\AB = AM\left( {cmt} \right)\\\angle A\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AMN = \Delta ABC\) (cạnh góc vuông- góc nhọn)

\( \Rightarrow AN = AC\) (cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ANC\) có :

\(AN = AC\left( {cmt} \right);\,\,\,\,\angle NAC = {60^0}\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow ANC\) là tam giác đều. (đpcm)

d) \(BI < ND\)

Vì \(\angle ANC\) là tam giác đều nên \(DA = DN = DC\) với \(D\) là trọng tâm của tam giác ANC (giao của ba đường cao).

Trong \(\Delta ABD\) có : BI là đường cao từ đỉnh B. \(\left( {I \in AD} \right) \Rightarrow BI < AD\)

Mà \(AD = DN\) (cmt)

\( \Rightarrow BI < DN\) (đpcm).