Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét \(f\left( x \right) - 4\), sau đó sử dụng BĐT Cô-si cho hai số \(x,y \ge 0:\,\,x + y \ge 2\sqrt {xy} \). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

Giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) - 4 = \dfrac{{4 - 4x}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} -  = \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}\)

Do \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0\).

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x};\,\,\dfrac{x}{{1 - x}}\) ta có:

\(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}.\dfrac{x}{{1 - x}}}  = 2.2 = 4\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) - 4 \ge 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 8\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} = \,\dfrac{x}{{1 - x}} \Leftrightarrow 4{\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {1 - x} \right) = x\\2\left( {1 - x} \right) =  - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(\min f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow m = 8\).

Chọn D.