Bất phương trình \({\left( {2x + 1} \right)^3} + {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng thẳng thức khai triển VT, đưa VT về dạng tích.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {2x + 1} \right)^3} + {x^3} + {\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {2x + 2} \right)^3} > 0\\ \Leftrightarrow 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 + {x^3} + {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 + 8{x^3} + 24{x^2} + 24x + 8 > 0\\ \Leftrightarrow 18{x^3} + 39{x^2} + 33x + 10 > 0 \Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {6{x^2} + 9x + 5} \right) > 0\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = 6{x^2} + 9x + 5\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 > 0\\\Delta  = {9^2} - 4.6.5 =  - 39 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó \(\left( {3x + 2} \right)\left( {6{x^2} + 9x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{2}{3}\).

Mà \(x\) là số nguyên âm thỏa mãn \(x >  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow \) Không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn.

Chọn A.