Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(AH\left( {H...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau (có chứa hai cạnh AE và AH) theo trường hợp c.g.c. Rồi suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau là: \(AE = AH\).

b) Chứng minh tam giác \(AEF\) cân tại A, ta chứng minh \(AE = AF\) bằng cách chỉ ra \(\Delta AKH = \Delta AKF\) rồi suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau là \(AH = AF\). Mà \(AH = AE\left( {cmt} \right)\) nên \(AE = AF\) .

c)  \(\begin{array}{l}cm:\,\Delta AEM = \Delta AHM \Rightarrow \angle E = \angle {H_1}\\cm:\,\Delta AFN = \Delta AHN \Rightarrow \angle F = \angle {H_2}\end{array}\)

Mà \(\begin{array}{l}\angle E = \angle F\\ \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2} \Rightarrow dpcm\end{array}\)

d) Cần chứng minh \(BN,CM\) là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(AE = AH.\)

Xét \(\Delta AIE\& \Delta AIH\) có:

                                   \(\begin{array}{l}AI\,chung\\\angle AIE = \angle AIH = {90^0}\left( {gt} \right)\\IE = IH\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AIE = \Delta AIH\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AE = AH\) (cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AKH\& \Delta AKF\) có:

                                    \(\begin{array}{l}AK\,\,chung\\\angle AKH = \angle AKF = {90^0}\left( {gt} \right)\\KH = KF\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AKH = \Delta AKF\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\(AF = AH\) (cạnh tương ứng)

Mà

                                       \(\begin{array}{l}AH = AE\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow AF = AE\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AEF\)cân tại A. (đpcm).

+) Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta AHM\) có:

\(\begin{array}{l}AM\,chung\\\angle EAM = \angle HAM\,\left( {do\,\Delta AIE = \Delta AIH\,\left( {cmt} \right)} \right)\\AE = AH\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEM = \Delta AHM\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle E = \angle {H_1}\)         (1)    (góc tương ứng)

+) Xét \(\Delta AFN\) và \(\Delta AHN\) có:

\(AN\,chung\)

\(\angle HAN = \angle FAN\)(do \(\Delta AKH = \Delta AKF\left( {cmt} \right)\)

\(AH = AF\,\left( {cmt} \right)\)

\(_{ \Rightarrow \angle {H_2} = \angle F}\)

Mà \(\angle E = \angle F\) (do \(\Delta AEF\) cân tại \(A\,\,\left( {cmt} \right)\))

\( \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2}\)

Vậy \(AH\) là đường phân giác của góc \(\angle MHN\)

d) Chứng minh \(AH,BN,CM\) đồng quy.

Cần chứng minh \(BN,CM\) là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\)