Số nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x + \cos \l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-          Giải phương trình nhờ công thức: \(\cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi  + \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\)

-          Tìm số nghiệm thõa mãn bằng xác định số nguyên k.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2{\cos ^2}x + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \,2{\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x =  - 1\;\;\;\;\left( {\sin x = \frac{3}{2}\;\;ktm} \right)\\ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {0;\;100\pi } \right]\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le 100\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{201}}{4} \Leftrightarrow 0,25 \le k \le 50,25\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3;.......;\;50} \right\}.\end{array}\).

Vậy có 50  nghiệm thõa mãn.

Chọn A.