Giải phương trình lượng giác sau: \({\sin ^2}x + \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = t\)

Đưa về phương trình 1 ẩn t.

Giải t  sau đó tìm x và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \)

\({\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^4}{\rm{x}} + \frac{1}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^4}{\rm{x}}}} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + {\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^2} - 2 = \frac{{27}}{4}\)

Đặt:  \({\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = t \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Pt \Leftrightarrow {t^2} + t - \frac{{35}}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \frac{7}{2}(ktm)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\sin ^4}x - \frac{5}{2}{\sin ^2}x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}x - \frac{1}{2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\{\sin ^2}x = 2\;\;(ktm)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\; \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\;\;\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn D