Phương trình \(8\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu phương trình để đưa về phương trình thuần nhất bậc 3 của \(\sin x\) và \(\cos x\).

Giải chi tiết:

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \Rightarrow 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right).\)

Phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,8\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} \Leftrightarrow 8\sin x{\cos ^2}x = \sin x + \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) - 8\sin x{\cos ^2}x = 0\end{array}\)

Chia cả hai vế phương trình cho \({\cos ^3}x \ne 0\), đặt \(\tan x = t\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) - 8\tan x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + \sqrt 3 } \right)\left( {{t^2} + 1} \right) - 8t = 0 \Leftrightarrow {t^3} + \sqrt 3 {t^2} - 7t + \sqrt 3  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - \sqrt 3 } \right)\left( {{t^2} + 2\sqrt 3 \,t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \sqrt 3 \\t =  - \sqrt 3  - 2\\t =  - \sqrt 3  + 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay vào \(\tan x = t\), ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3  = \tan \frac{\pi }{3}\\\tan x =  - \sqrt 3  - 2 = \tan \left( { - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\\\tan x =  - \sqrt 3  + 2 = \tan \frac{\pi }{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right).\)

Xét:

\(\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < k < \frac{2}{3} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\\0 <  - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} < k < \frac{{17}}{{12}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}}\\0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi \, < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{12}}\end{array}\)

Các nghiệm thõa mãn có tổng là: \(\frac{\pi }{3} + \frac{{7\pi }}{{12}} + \frac{\pi }{{12}} =\pi\)

Chọn D.