Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi :\(\left\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

$a < {u_n} < a + 1 \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right] = a$. Từ công thức đề bài biến đổi để tìm a.

Giải chi tiết:

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n} + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2 - u_n^2 - {u_n}}}{{{u_n} + 1}} = \frac{{ - {u_n}}}{{{u_n} + 1}} < 0,{\rm{ }}\forall n$ nên dãy $({u_n})$ là dãy giảm.

Lại có: ${u_n} = \frac{{u_{n - 1}^2}}{{{u_{n - 1}} + 1}} = {u_{n - 1}} - \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}} > {u_{n - 1}} - 1 > ... > {u_0} - n\;\;\left( {do\;\;\frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}} < 0} \right)$

Suy ra: ${u_n} > {u_0} - n = 2011 - n$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}{u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + ({u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}) + ... + ({u_1} - {u_0}) + {u_0}\\\;\;\; = {u_0} - \left( {\frac{{{u_0}}}{{{u_0} + 1}} + \frac{{{u_1}}}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}}} \right)\\\;\;\; = {u_0} - n + \left( {\frac{1}{{{u_0} + 1}} + \frac{1}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 1}}} \right).\end{array}$

Mà:

$0 < \frac{1}{{{u_0} + 1}} + \frac{1}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 1}} < \frac{n}{{{u_{n - 1}} + 1}} < \frac{n}{{2012 - n}} < 1$ với mọi $n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Suy ra ${u_n} < {u_0} - n + 1 = 2012 - n$

Do đó: $2011 - n < {u_n} < 2012 - n \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right] = 2011 - n$ với $n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Vì ${u_0} = 2011$ và ${u_1} = \frac{{{{2011}^2}}}{{2012}} = 2010,000497$

nên  $\left[ {{u_0}} \right] = 2011 - 0,{\rm{ }}\left[ {{u_1}} \right] = 2010 = 2011 - 1$

Vậy $\left[ {{u_n}} \right] = 2011 - n,{\rm{ }}\forall \;n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Chọn B.