Chứng minh rằng với mọi số nguyên  thì \(a\left( {...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử và đánh giá.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& a\left( {{a^6} - 1} \right) = a\left( {{a^3} + 1} \right)\left( {{a^3} - 1} \right) = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) \cr
& = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1 - 7} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) + 7a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) \cr
& = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - a - 6} \right)\left( {{a^2} - a + 1 - 7} \right) + 7a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) + 7a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - a - 6} \right) \cr
& = a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - a - 6} \right)\left( {{a^2} - a - 6} \right) + 7a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {2{a^2} - 5} \right) \cr} \)

Lại có: \(7|7a\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-5 \right)\)     (1)

\(a\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}-a-6 \right)\left( {{a}^{2}}+a-6 \right)=a\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)\left( a+2 \right)\left( a-3 \right)\left( a-2 \right)\left( a+3 \right)\,\,\vdots \,\,7\,\,\,\left( 2 \right)\)

(Tích của 7 số tự nhiên liên tiếp).

Từ (1) và (2) ta có mọi số nguyên \(a\) thì \(a\left( {{a^6} - 1} \right)\) chia hết cho 7.